[olm]

Moin Moin,

ich habe ein riesen Problem. Ich habe morgen Mathe-Prüfung und rechne hier jetzt schon gut 3 Stunden an diesem Gleichungssystem. Ich weiß einfach nicht weiter. Bitte helft mir


1.-> 0=27a+9b+3c+d
2.-> 3=64a+16b+4c+d
3.-> 4=a+b+c+d
4.-> 0=27a+6b+c


Ich komme einfach nicht darauf, wie ich dieses System lösen kann. Gibt es da irgendeinen allgemeinen Lösungsweg?

Danke schon im voraus.

Dieser Beitrag wurde von olm bearbeitet: 30. November 2006 - 12:33

[blue32]

IMHO ist dieser Thread besser bei den Hausaufgaben aufgehoben.

Ein lineares GS, vier Gleichungen und vier Unbekannte, nichts leichter/lösbarer als das.
Wiki zeigt die Grundlagen dazu nicht so schlecht, neben dem Fakt, dass das hoffentlich in deinem Hefter genauso steht.

Tipp: In deinem Fall sollten dir die direkten Verfahren wie Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren und Additionsverfahren helfen.

HTH,
blue32

[olm]

Erstmal danke fr die Antwort.


Ich habe jetzt allerding schon so ziemlich alles Multipliziert bzw. dann addiert und es bleiben aber immer 2 Variablen stehen!

Ich weiß nicht wie ich die letzte Variable weg bekommen.

[Leshrac]

Matrix erstellen -> LU-Decomposition -> Gaussian Elimination

Solltest dann a=2/3 b=-11/3 c=4 und d=3 herausbekommen.

[Cryson]

hattet ihr nicht die stufenform?

bei der ersten gleichung die variablen a,b,c und d
bei der zweiten a,b,c
bei der dritten a,b
und bei der vierten a

so musst du umformen!

Dieser Beitrag wurde von Cryson bearbeitet: 30. November 2006 - 14:13

[olm]

Also jetzt nochmal Schritt für Schritt:

1.-> 0=27a+9b+3c+d
2.-> 3=64a+16b+4c+d
3.-> 4=a+b+c+d
4.-> 0=27a+6b+c


1. *(-4)
2. *(3)

1.+2. Addieren (I):
9=84a+12b-d

3. *(-4)
2.+3. Addieren (II):
-13=60a+12b-5d

Jetzt II *(-1) und mit II addieren (III)
22=24a+4d

Jetzt 3. *(-1) und addieren mit 2. (IV)
-1=63a+15b+3c

Weiter komme ich nicht

Ich habe jetzt:

I-> 9=84a+12b-d
II-> -13=60a+12b-5d
III-> 22=24a+4d
IV-> -1=63a+15b+3c

Dieser Beitrag wurde von olm bearbeitet: 30. November 2006 - 15:14

[Rika]

Kein Wunder, wenn du jetzt trotz mehrfach verlinkten Beschreibungen des Gaußschen Eliminationsverfahren immernoch keinen Plan hast...

1. Du betrachtest alle Paare (I,x) von Gleichungen. Du erweiterst für alle, daß der erste Koeffizienz übereinstimmt, anschließend bildest du deren Differenzen. Du erhälst n-1 Gleichungen mit n-1 Unbekannten.

In deinem Falle:

27a+9b+3c+d=0 (I) | *64
64a+16b+4c+d=3 (II) | *27

1728a+576b+192c+64d=0 (Ia)
1728a+432b+108c+27d=81 (IIa)

144b + 84b + 37c = -81 (Ia-IIa)

das gleiche mit den Paaren:

27a+9b+3c+d=0 (I)
a+b+c+d=4 (III)

27a+9b+3c+d=0 (I)
27a+6b+c=0 (IV)

Dann erhälst du drei Gleichungen, in den das 'a' jeweils verschwunden ist.

2. Wiederhole Schritt 1, bis es nicht mehr geht.

Aus den drei Gleichungen erhältst du nach gleichem Schema zwei Gleichungen, in denen auch das 'b' fehlt.

Und dann eine Gleichung, in der auch das 'c' fehlt und die damit die Form d=Lösung_von_d hat.

3. Rückwärtseinsetzen: Du setzt das d in eine der beiden Gleichungen mit nur 'c' und 'd' ein und erhälst damit das 'c'. Dies setzt du in einer drei der Gleichungen mit 'b', 'c' und 'd' ein und erhältst damit 'b'. Und im letzten Schritt dann halt 'a'.


4. Ein Schlaukopf würde die Gleichungen als m*d+n*c+o*b+p*a umschreiben, weil alle 'd's nur die Koeffizienten 1 bzw. 0 haben, die 'c' nur sehr kleine, aber die 'a's sehr große.

5. Ein noch viel schlauerer Kopf würde erkennen, daß die Koeffizienten sehr sehr regelmäßig sind:

3³,3²,3,3^0
4³,4²,4,4^0
1,1,1,1
3³,3*2,1,0

Damit ergibt sich c=4 und d=3 ja schon durch scharfes Hinsehen...


Bei deinem wirren Vorgehen solltest du doch klar erkennen, daß du nirgendwo Variablen eliminiert hast und damit keinen Schritt weiterkommst.

[olm]

Also ertmal vielen Dank!
Ich glaube ich habe jetzt kapiert.

Allerdings muss ich sagen ist das sehr rechenintensiv und fehleranfällig.

Naja ich werde es erleben morgen.

Danke nochmal

[Rika]

Zitat

Allerdings muss ich sagen ist das sehr rechenintensiv

Nope, es hat eine Laufzeit von O(n³). In deinem Falle gar mit reiner Integerarithmetik.

Zitat

und fehleranfällig.

Auch nicht. Das Verfahren ist trivial systematisch und in Integerarithmetik stets exakt. Sogar die Größe der Koeeffizienten ist mit x^n/ln(n) für kleine n moderat, für große n linear auf x separabel.

Insbesondere erkennt man, wie bereits benannt, daß man mit Reduktion von d nach a statt umgekehrt in diesem Beispiel sehr viel Arbeit sparen kann. Ansonsten wird idR nur ein Gleichungssystem der Größe 3 gewählt, eben weil es sonst zu aufwendig ist.