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Partielle Integration 2 Aufgaben


#1 Mitglied ist offline   pSyCHo_SolDiEr 

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geschrieben 10. Januar 2005 - 17:06

Sers

Hab hier zwei Infinitesimal Aufgaben zum Thema partielle Integration. Die Lösungen hab ich mir schon zusammengerechnet, jedoch erkennt der Lehrer meinen Lösungsweg nicht an. Muss sie morgen im Unterricht vorstellen. Kann mir irgendjemand mal einen Lösungsweg zusammenbasteln.

Aufgabe 1:
Integral von x*cos(ax) dx  (mit a>0)


Aufgabe 2:
Integral von  (x^3)/(SQRT(a^2-x^2)) dx  (mit a>0)

Dieser Beitrag wurde von pSyCHo_SolDiEr bearbeitet: 10. Januar 2005 - 17:06

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#2 Mitglied ist offline   pSyCHo_SolDiEr 

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geschrieben 10. Januar 2005 - 17:44

Also die Lösung für die erste müsste so ganz passabel sein oder:

nach Formel: Integral u(x)*v'(x) dx = u(x)*v(x) - Integral u'(x)*v(x) dx

u(x)=x; v'(x)=cos(a*x)  => u'(x)=1; v(x)=1/a*sin(a*x)

Integral x*cos(a*x) dx = [1/a*sin(a*x) * x] - Integral 1/a*sin(a*x) dx=
=[x/a * sin(a*x)] - [ 1/a^2 * (-cos(a*x))]= x/a*sin(a*x) + 1/a^2 * cos(a*x)


Aber bei der 2ten bräuchte ich noch nen Tipp.

Dieser Beitrag wurde von pSyCHo_SolDiEr bearbeitet: 10. Januar 2005 - 22:43

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#3 Mitglied ist offline   Rika 

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geschrieben 10. Januar 2005 - 18:53

Minus Minus wird zu Plus!

zur zweiten:

u(x)=x³
v'(x)=1/sqrt(a²-x²)=1/a*1/sqrt(1-(x/a)²)

v(x)=arcsin(x/a)
Konnichiwa. Manga wo shitte masu ka? Iie? Gomenne, sonoyouna koto ga tabitabi arimasu. Mangaka ojousan nihongo doujinshi desu wa 'Clamp X', 'Ayashi no Ceres', 'Card Captor Sakura', 'Tsubasa', 'Chobits', 'Sakura Taisen', 'Inuyasha' wo 'Ah! Megamisama'. Hai, mangaka gozaimashita desu ni yuujin yori.
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#4 Mitglied ist offline   pSyCHo_SolDiEr 

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geschrieben 10. Januar 2005 - 23:05

Danke Rika für deine Antwort aber mit dieser Methode kommt man leider nicht weit, da dann das neue Integral
Integral 3*x²*arcsin(x/a) dx
nen ziemlich dicken Batzen ergibt:

Habs mal durchgerechnet und würde dann so ausschauen:

Integral x^3/Sqrt(a^2-x^2) = [X^3*arcsin(x/a)] * Sign(a)*{x^3*arcsin(x/a)+ [Sqrt(a^2-x^2)*(x^2+2a^2)]/3}


Ich würde eher u(x)=x^2 und v'(x)=x/SQRT(a^2-x^2) wählen. Jedoch häng ich hier bei v(x) fest, es richtig durchzurechen. Das Ergebnis weiß ich: v(x)= -SQRT(a^2-x^2) und somit komm ich auch auf die Lösung. Ich brauche nur noch den Rechenweg um von v'(x) auf v(x) zu kommen. Ich habs jetzt auch schon ein paar mal mit substitution versucht, ohne Ergebnis.

Wär spitze wenn du dich meiner noch mal annehmen könntest.
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#5 Mitglied ist offline   Rika 

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geschrieben 10. Januar 2005 - 23:21

\Int(3*x²*arcsin(x/a),dx)=6*\Int(1/2*x²*arcsin(x/a),dx)

u(x)=1/2*x²
v'(x)=arcsin(x/a)

u'(x)=x
v(x)=a*((x/a)arcsin(x/a)+sqrt(1-(x/a)²))+C
=x*arcsin(x/a)+sqrt(a²-x²)+C

noch einmal und du bist am Ziel...
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#6 Mitglied ist offline   pSyCHo_SolDiEr 

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geschrieben 10. Januar 2005 - 23:25

Oder so ok big thx.

Hast einen gut bei mir, aber ich war so auf die Substitution fixiert das ich den weg nicht gesehen hab.

Schönen Abend noch.

Dieser Beitrag wurde von pSyCHo_SolDiEr bearbeitet: 10. Januar 2005 - 23:35

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#7 Mitglied ist offline   pSyCHo_SolDiEr 

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geschrieben 10. Januar 2005 - 23:35

Ok habs jetzt nochmal versucht aber es gibt doch schon wieder so einen rießen Term unter dem Integral am Schluss. Irgendwie dreh ich mich im Kreis oder ich steh total auf dem schlauch. Naja ich schau es mir morgen früh nochmal an, wenn einiger maßen wach bin.
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