[LoD14]

ich steh hier grad schon wieder was bei mathe am schlauch. wir haben so ne blöde mini-max aufgabe aufgedrückt bekommen. "einem gleichschenkligen dreieck (einem kegel) ist das rechteckt (der zylinder) größten inhalts einzubeschreiben.

also im grunde ist es ja ich nehm die beiden flächenformeln 1/2*g*h fürs 3eck und a*b für das rechteck.

blöderweise hab cih total vergessen, wie das mit dem mini-max krahm geht. und vor allem seh cih hier keine notwendigkeit den kram zu machen. es kann ja eigentlich nur das quadrath rauskommen, das sagt doch zumindest das isoperimetrische problem. nur wenn ich dem prof da hinschreib, is das quadrath, siehe isoperimetrische problem beim rechteck krieg ich eins aufn deckel -.-

und noch eine weitere frage: kann ich die beiden gleichungen irgendwie gleichsetzten und quasi was änliches machen wie "die müssen max sein, da wo sich die graphen schneiden"? es sind nur mehrere parameter ist das problem, also würde das ganze wohl in R3 oder so enden. wäre halt nur irgendwie cool, wenn cih acuh so nen abgefahrenen lösungsansatz hätte. hat jemand ne idee?

[Kenny]

man ich hab das auch schon alles wieder vergessen^^

probiers mal in nem kosy und trag da alles ein. über ein integral kannste dann ja den flächeninhalt ausdrücken.

f(x) dreieck= m*x
und dein rechteck hat die fläche a*b, wobei b ja die höhe von deinem wert m*(g-a), wenn g jetzt der punkt auf der x-achse is wo dein dreieck aufhört

edit: hab mal kurz was mit paint gemalt. wie gesagt so 100% klar is mir das selber nit mehr, is schon paar jahre her! statt dem M kannste ja ne feste zahl nehmen, das wird da egal sein denk ich.

Angehängte Miniaturbilder

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Dieser Beitrag wurde von Kenny bearbeitet: 10. Januar 2007 - 20:24

[LoD14]

hm, okay, für das 2dimensionale hab cih mir jetzt was gebastelt mit den strahlensätzen, das klappt sogar sehr gut... jetzt muss ich das nur irgendwie ins 3dimensionale bekommen mit dem kegel...

hat denn jemand ne idee für ne graphise darstellung mit kurven, integralen oder so?

[Kenny]

stimmt strahlensatz is auchn guter ansatz!

volumenvon deinem zylinder is a²*pi*b und von deinem kegel 1/3*g²*pi*h

Dieser Beitrag wurde von Kenny bearbeitet: 10. Januar 2007 - 20:28

[LoD14]

das hier ist meine idee.



ich muss jetzt nur irgendwie das für kegel und zylinder zeigen -.- grml.

Dieser Beitrag wurde von LoD14 bearbeitet: 10. Januar 2007 - 20:33

[MNG]

Also, Gleichsetzen der Gleichungen dürfte nicht klappen (ist i.A. unlösbar).
Denn man los:
Dreieck ist durch Höhe (h) und Grundseitenlänge (g) gegeben.
Ein Rechteck soll eingeschrieben werden. Die Fläche des Rechtecks soll maximal sein.
O.b.d.A: Das Rechteck steht auf der Grundseite.
Breite des Rechtecks: b =g -2*x (da es mittig steht)
Länge des Rechtecks: l = h - y
Damit ist der Flächeninhalt des Rechtecks
f(x,y) = b*l = (g - 2*x)*(h - y)
Das ist jetzt bivariat, um das zu maximieren haben wir noch zuwenig Gleichungen.
Aber: y hängt von x ab; wenn x wächst, dann schrumpf y.
Sprich: Nimmt die Breite des Rechtecks ab, dann nimmt die Höhe zu.
Die Beziehung zwischen x und y ist durch die Geraden beschrieben, die die Schenkel des Dreiecks beschreiben (daher wäre es deutlich schwerer, wenn das Dreieck nicht gleichschenklig wäre).
In Formeln: y = h - (2/g)*h*x (einfache Geradengeleichung, da gilt
x = 0 => y = h und
x = g/2 => y = 0
Damit ist f(x,y) = f(x) = (g - 2*x)*(h - (h - (2/g)*h*x))
Vereinfacht: f(x) = 2*h*x - (4/g)*h*x²
Die Ableitung f'(x) = 2*h - (8/g)*h*x
Nullstelle der Ableitung: 0 = f'(x) => x = g/4
Damit gilt Fläche(Rechteck) = f(g/4) = g*h/4, also genau die Hälft der Fläche des Dreiecks.

[Kenny]

@MNG was machste eigentlich beruflich zur zeit oder in der schule?

ich konnte sowas vor 3 jahren noch aber jetzt geht NIX mehr... das is doch zum kotzen^^ aber wirklich gebraucht hab ichs ja auch nie lol

[peterpb]

Ganz simple:
Wie zieht man die Gleichungen voneinander ab, sodass ich d herausbekomme?
125a + 25b + d = 0,0125
3375a + 225b + d = 0

[MNG]

@peterpb: Zwei (linear unabhängige) Gleichungen, drei Unbekannte: Ich glaub' das geht nicht.
@Kenny: Bin Informatiker (und damit mathematisch für den Rest des Lebens geschädigt )
@LoD14: Die Lösung lässt sich auf den Kegel verallgemeinern: Grundseite wird Grundfläche (Kreis), davon den Radius abziehen. Der Radius bestimmt dann die Höhe des Zylinders.

[LoD14]

Zitat

@LoD14: Die Lösung lässt sich auf den Kegel verallgemeinern: Grundseite wird Grundfläche (Kreis), davon den Radius abziehen. Der Radius bestimmt dann die Höhe des Zylinders.

ich knobel immer noch an dienem weg. ich kann mir den nciht vorstellen

[MNG]

An dem Weg für das Dreieck? Welcher Stelle ist der Knackpunkt?

[LoD14]

das ergebniss. wobei, mittlerweile glaub ich, dass cih die aufgabe falsch verstanden hab. ich müsste doch am ende ne formel für ein rechteck haben und nicht einen flächeninhalt, oder?

[MNG]

Naja, das Rechteck hast du doch.
Das Rechteck steht auf der Grundseite des Dreiecks, und zwar mittig. Die Entfernung von den Endpunkten der Grundseite zu den Ecken des Rechtecks hab ich bei meinem Weg ja ausgerechnet: g/4. Das bedeutet, das die Grundseite des Rechtecks g/2 lang ist. Wenn das Dreieck also aus den Punkten A,B,C besteht (A links, C oben, wie üblich), dann liegt das Rechteck bei

Links unten: A + (g/4, 0)
Rechts unten: B - (g/4,0) bzw. A + 3*g/4
Rechts oben: B - (g/4, h/2)
Links oben: A + (g/4, h/2)

Wie kommt man drauf? Haben ja ausgerechnet x = g/4
Aus den Gleichungen folgt dann: b = g - 2*g/4 = g/2 => Die Grundseite des Rechtecks ist g/2 lang
Weiter folgt aus y = h - (2/g)*h*x mit x=g/4 dass y = h - h/2 = h/2 => Die Höhe des Rechtecks ist h/2
Dazu genommen, dass das Rechteck mittig auf der Grundseite steht => Fertig, Rechteck ist vollständig definiert.

[LoD14]

hm, wenn die grundseite des rechtecks g/2 ist, ist es doch nicht mehr variabel. dann setzte cih doch eine feste grundseite für das dreieck vorraus. vorraus, oder?

Dieser Beitrag wurde von LoD14 bearbeitet: 10. Januar 2007 - 22:41

[MNG]

Nö. Der Lösungsweg geht allgemein von einem gleichschenkligen Dreieck aus. Die Lösung gilt dementsprechend für alle solchen Dreiecke: Das maximale Rechteck liegt immer mittig auf der Grundseite, ist halb so breit wie diese,halb so hoch wie das Dreieck und die Hälfte des Flächeninhalts des Dreiecks. Das gilt immer, der Rechenweg beweist das allgemein.
Der Ansatz ist ja: Breite des Rechtecks muss aus der Grundseite des Dreiecks hervorgehen, wenn ich links und rechts etwas (gleich viel!) abziehe:
b = g - 2*x
Die Höhe des Rechtecks muss aus der Höhe des Dreiecks hervorgehen, wenn ich oben etwas abziehe:
l = h - y

Das ist ganz allgemein. Jetzt drücke ich y durch x aus, damit ich nur eine Variable habe.
y = h - (2/g)*h*x
Das ist so, weil das Recheck ja die Dreiecksschenkel berühren muss (sonst kann es nicht maximal sein). Diese Beziehung gilt, weil: Wenn x = 0 ist, dann ist die Grundseite des Rechtecks die gesamte Dreiecksgrundseite. Dann muss die Höhe ja null sein => y ist maximal, also gleich h. Wenn x = g/2 ist, dann ist die Grundseite des Rechtecks null, => y ist minimal, also gleich null. Macht zwei Punkte: (0,h) und (g/2, 0). Die beschreiben die Gerade, die das Verhältnis von x und y definiert. Ergebnis ist obige Gleichung. So, jetzt wollen wir ja maximalen Flächeninhalt haben. Also: Flächeninhaltsfunktion vom Rechteck aufstellen:
Fläche = b*l = (g - 2*x)*(h - (h - (2/g)*h*x))
Da ist y schon durch die Beziehung zu x ersetzt. Das leitest du jetzt ab, weil: Wollen ja Extremum bestimmen!
Fläche' = 2*h - (8/g)*h*x
Davon suchen wir jetzt die Nullstelle (kann ja nur eine haben). Die liegt bei
x = g/4
(Das müsste man jetzt in der zweiten Ableitung testen, ob die kleiner null ist. Sonst hätten wir kein Maximum. Das sieht aber ein blinder, da die zweite Ableitung eine Konstante < 0 ist).
Jetzt wissen wir die Breite der Grundseite des maximalen Rechtecks:
b = g - 2*x = g - 2*g/4 = g/2
Tja, und damit haben wir auch die Höhe des maximalen Rechtecks:
l = h - y = h - (h - (2/g)*h*x) = h/2
Wir wissen ja, dass das Rechteck mittig auf der Grundseite des Dreiecks liegt. Damit ist das maximale Rechteck jetzt eindeutig beschrieben, denn wir wissen wie hoch es ist, wie breit es ist und wo es liegt.
Falls noch was unklar ist, ICQ mich einfach an, Nummer steht im Profil!